Theoretical distribution: Frequency, cumulative frequency, and Ogive: –

Concept:

The statistical division is one of the most important aspects and methods of statistics. After data collection, the statistical division is required to interpret the information properly. The statistical division is the presentation of collected data in a specific order and order. Properly divided by statistics, numerical values are accurate and can explain the importance and significance of elements. In this article, we will discuss the Theoretical distribution: Frequency, Cumulative frequency, and Ogive.

Definition: 

The statistical division is the process of presenting the collected broad and chaotic quantities in a statistical table in the form of squares and statistical by dividing them into several small parts.

Characteris:  

How many common features can be noticed when diagnosing statistics. Such as: –

  • The number of figures is classified on the basis of how many features.
  • These figures are quantitatively different from each other.
  • These types of quantities are both arranged and asymmetrical.
  • These statistics by different class ranges only help to give an idea about the distribution of information.
  • These figures are made up of some data collected at the same time.

Type of Frequency distribution:  

There are generally two types of statistical divisions, namely: – 1. Simple or ungrouped frequency distribution and 2. Grouped frequency distribution.

1. Simple or Ungrouped Frequency distribution:

When statistics collected in statistics are presented in whole numbers without being shown infractions, it is called simple or ungrouped frequency distribution. It is also called discrete frequency distribution.

  • Advantages: Simple frequency distribution has several advantages. e.g.-
  • The presence of a small amount of information can be observed in such statistical divisions.
  • Mathematical complexity is much less in this division as less information is exchanged.
  • In the case of simple statistical division, each number has an identity or predominance.
  • In the case of simple frequency distribution, distortions in the presentation of information are not easily apparent as each statistic retains its own characteristics.
  • Disadvantages: While there are advantages to simple or ungrouped frequency distribution, there are also the same disadvantages. 
  • Simple frequency distribution does not apply to the representation of multiple or more data. 
  • This type of statistical formaliting only discusses the general properties of the data, so the role of such frequency distribution in the complex interpretation and application of formulas is much less.
  • Summarizing data fails because of the lack of class interval in such a statistical format.
  • Simple or ungrouped frequency distribution does not allow statistics to be expressed in text.

2. Grouped Frequency Distribution:

In statistics, when quantitative data are classified by their meanings and their similar statistics are presented side within a certain range, it is called Grouped Frequency Distribution. This is often called continuous frequency distribution. Such divisions have class boundaries.

  • The method of grouping:
  • Determination of Number of Classes:  It depends on the scope of the statistics. It is difficult to determine how many categories the statistics can be divided into. However, it is not recommended that the number of classes be too low or too high. Class numbers should be between 5 and 25, according to statisticians. However, the prominent statistician ‘H.A. Sturges’ class numbers are determined according to formula. The formula is-

                                               class number (K) = 1 + 3.322 log N

, where, K = Class Number

             N = Total frequency

Sometimes in the case of large statistics, another one will be used: K = 5 log N

  • Determination of class Intervals: The class difference is obtained by dividing the difference between the highest and lowest values of a distribution by the number of classes. The formula for Determination of class intervals is- 

                  Class interval (i) = Highest value (H) – Lowest value (L) / Number of classes 

                         Depending on the nurture of the statistical division, class intervals can be equal or unequal. There are usually three types according to the number of specific class intervals and its religion- 

  •  Equal class interval: When each class interval of a statistical division is equal, such class interval is called equal class interval. 
  • Unequal class interval: when the statistics division of each class interval with a different quality is uneven is called the unequal class interval.  
  • Open-ended class interval: In the case of statistical division, there are many classes where the two ends, that is the first and last boundaries are left open are classified as open-ended class intervals.

1. Methods of Determining Class-Intervals:

There are two methods for selecting class intervals for statistical division. e.g.- Inclusive Method, Exclusive Method.

  • Inclusive Method: In the case of statistical division of the collected arithmetic, the upper limit and the lower limit are determined during class selection. That is each class has an upper limit and a lower limit. 

     When both the upper limit and the lower limit of a class are included in that class, it is called an inclusive method. In this case, the upper limit of a class is not equal to the lower limit of its next class.

  • Exclusive MethodWhen the upper limit of a class is equal to the lower limit of its next class, it is called exclusion or exclusive method. In such a class the limit of any class is equal to the lower limit of the next class.
  • Class Limit and class Boundary: In classified statistical division, when two marginal values are fixed in each class interval and the value of the upper limit of a class and its subsequent lower value are different, it is called class limit. The small value edge of the class interval is called the lower limit and the large value edge is called the upper limit.

                      A class boundary is called a class boundary when the upper limit of a class of class division ends with the same value as the lower limit of the next class.

  •  Class Width / i: In classified statistical division, the intermediate value between the lower boundary and the upper boundary of a class is called the class width.

            Class width (i) = Upper Class Boundary  – Lower class Boundary

  • Class Midpoint or Mid value:  The value in the middle of a class is called the midpoint. The formula for determining the midpoint is-

                  Mid value = Lower class limit or boundary + Upper class limit or boundary / 2

  • Relative Frequency / RF: The value obtained by dividing the statistics of a particular class by the total number is called the relative Frequency of that class. The formula for determining the relative frequency is-

                        Relative Frequency (RF) = Class Frequency(f) / Total Frequency (N)

  • Percentage Frequency / PF: When a certain class of statistics is expressed as a percentage value divided by the total number, it is called a percentage frequency. The formula for determining percentage frequency is –

            Percentage Frequency (PF) = Class Frequency (f) / Total Frequency (N) x100

  •  Frequency Density / FD: Classified statistical division the quantity of data per unit class of a distribution is called frequency density. The formula for determining frequency density is-

                  Frequency Density (FD) = Class Frequency (f) / Class Width (i)

  • Importance and Use of Frequency Distribution:
  • The value of a variable can be deduced from its position.
  •  Information can be presented in an orderly manner.
  •  Provides ideas about information trends.
  • The value of a variable can be expressed in a small but meaningful way.
  •  Helps to present information through charts.
  • Assists in comparative judgment and analysis of data.

Graphical Representation of Frequency Distribution  

The publication of statistics charts of statistical representation is very important as a rule of application of statistics. These linear expressions are represented by a histogram, frequency polygon, frequency curve, and cumulative frequency curve.

1. Histogram:

As well as some adjacent rectangles whose areas are proportional to the class frequency on a graph are called a rectangle. Rectangles are drawn on a straight line according to a certain vertical and horizontal scale.

  • Characteristics of Histogram:
  1. Frequency of each class corresponds to the area of the concerned rectangle.
  • Rectengles are drawn on the basis of a certen horizontal and vertical scale.
  • Vertical length of a rectangle is proportional to the frequency of that particular class.
  • There will not be any gap in between to rectangles.
  • For unequal distribution rectangles will be proportional to frequency density.
  •  Method of Drawing: To draw a rectangle, the following steps have to be followed-

 Step 1.  On a graph paper or white paper, the horizontal axis or X-axis represents the independent variables (Class Boundary) and the vertical axis or Y-axis is represented by the dependent variable (Frequency) with a suitable scale.

Step 2. On the X-axis, class boundaries and class ranges have to be drawn with a specific scale.

Step 3. Frequency has to be considered with a scale on the Y-axis.  In the case of unequal class interval frequency density have to be considered.

Step 4.  For each class, we have to draw a rectangle in which length or height will be proportional to the frequency of frequency density.

Step 5. The intersecting point of the X-axis and Y-axis is called the origin point, which value is (0,0).  If the length of the X-axis is exceptionally long, then there is a breaking scale needed for the axis. The ratio between the X and Y axis follows 80%.

  • Importance and Use:
  1. Frequency distribution can easily be represented by histogram.
  2. Histograms can reveal the overall frequency distribution very quickly and graphically.
  3. Histogram is used extensively to represent various economic, social and geographical information.
  4.   Central tendency can be represented by the histogram.
  5. With the help of a histogram, the trend of distribution can easily be identified.

2. Frequency Polygon:

On the basis of the vertical axis, the frequency values are plotted on the midpoint of each class and connected with the straight lines is called frequency polygon.

  • Characteristics: 
  1. The middle value of each class on the horizontal (x) axis is written with a definite scale.
  2. The horizontal length on the X axis is proportional to the range of extensions and the height of the points on the vertical axis.
  3. The points will be connected by a series of straight lines, so that many sides (polygons) are formed.
  4. The distance of the midpoints on the horizontal (x) axis is equal in case of even class interval.
  5. In the case of unequal class intervals, the distance between the midpoints varies according to the scale.
  6. In the case of equal class, the frequency of each class is placed on the vertical axis. But in the case of unequal class, the frequency density is placed on the vertical axis.
  7. Polygon formation is completed by adding horizontal lines to the two ends of the polygon with those points with an additional class midpoint before the first class and after the last class.
  8. Frequency polygons are sometimes drawn on the mid-top point of the histogram, but it is not mandatory.
  •  Method of Drawing: To draw a number polygon The following steps are to be followed-

Step 1.  Draw a horizontal line at a lower-mid portion on a graph paper or white paper for the horizontal (X) axis and a perpendicular line on the starting point of the horizontal line for the vertical (Y) axis.

Step 2. The midpoints of each class have to be placed on a specific scale along the X-axis.

Step 3.  The values ​​of the frequency/frequency density have to be put on a specific scale along the Y-axis.

Step 4. Then each point is added to the other in a straight line by scale.

Step 5.  Polygon formation will be completed by adding horizontal lines to the two ends of the polygon with those points with an additional class midpoint before the first class and after the last class.

  • Importance and Use:
  1. Frequency polygon expresses the nature of the distribution.
  2. The central tendency can revel by the graphical representation of the frequency polygonal.
  3.   To compare two or more sets of distribution it is generally used.
  • Relation between Frequency Histogram and Frequency polygons: Both are complementary to each other, mainly: –
  1. We can easily get the frequency polygon by adding the top-mid point of each histogram.
  2. A histogram with lower and upper boundary of a class and frequency polygon with mid point of a class represent the frequency density.
  3. Although the method of drawing is different, the sum of the areas of the histograms and the area of ​​the frequency polygon is always the same.

3. Frequency Curve:

On the basis of the vertical axis, the frequency values are plotted on the midpoint of each class and connected with the freehand curved lines is called frequency polygon.

  • Characteristics:
  1. The distance between two consiqutive mid point of classes is the equal for equal class interval and the it varies for unequal classes.
  1. The curve is drawn on the basis of frequency for equal classes and frequency density for unequal classes.
  1. The curved line drawn on the top-mid points of the classes with a free hand pen or pencil.
  1. The first and last point are oriented towards the previous and next values, respectively.
  1. Frequency curve are sometimes drawn on the mid-top point of the histogram, but it is not mandatory.
  •  Method of Drawing: To draw the frequency polygon, the following steps have to be followed-

Step 1.  Draw a horizontal line at a lower-mid portion on a graph paper or white paper for the horizontal (X) axis and a perpendicular line on the starting point of the horizontal line for the vertical (Y) axis.

Step 2. The midpoints of each class have to be placed on a specific scale along the X-axis.

Step 3.  The values ​​of the frequency have to be put on a specific scale along the Y-axis.

Step 4. Then each point is added to the other in a free-hand curved line.

Step 5.  Frequency curve formation will be completed by adding horizontal lines to the two ends of the curve with those points with an additional class midpoint before the first class and after the last class.

4. Cumulative Frequency:  

The sequential sum of frequency in classified or unclassified statistical distribution is called cumulative Frequency.

     Fc = Total frequency of all previous classes + corresponding class frequency

Cumulative frequency Two Types are: –

  1. Less than type: In this case frequencies are calculated from the top to bottom i.e. from lower classes to upper classes.
  1. More than type: In this case frequencies are calculated from the bottom to top i.e. from upper classes to lower classes.
  • The line drowns from the intersection point of two types of curve toward the horizantal axis indicate the median value of the total distribution.
  • Characteristics:
  1. Ogive represent the less than and more than two types of cumulative frequency curve.
  •  It is a two-dimensional image, where the class interval and frequency are the proportional to the area of the curve coverd.
  •  On the meeting point of the less than and the more than type curve, the lower and upper portions is formed an identical mirror image.

5.4.2. Method of Drawing: Cumulative frequency explains how to follow these steps in order to draw

Step 1. Draw two vertical horizontals (x-axis) and vertical (y-axis) lines on graph paper or white paper. 

Step 2. Put the point of class boundaries as per scale on the horizontal (X) axis.

Step 3. Put the values of cumulative frequencies at the upper boundary for less than type and lower boundary for more than type curves.

Spet 4. Draw two smooth curves for each type by adding the concerning points.

  •  Importance and Use:
  1. It hepls us to compare the different types of distributions.
  • It is very useful to represent the Median, Quartile, Decile, and percentile values by less than type cumulative frequency curve.
  • It is very helpful to determine the total number of percentages before or after a certain value or a percentage of it.

Join the Community

Join the free community of QGEO where we will be guiding you through the journey of learning geography. We have successfully organized more the 15 online courses. There are more than 2500 students, who actively participate with us. We are providing geography students, scholars, and professionals a better experience in the field of geography.

Notes in Bengali

          ধারণা: পরিসংখ্যা বিভাজন রাশিবিজ্ঞানের এক গুরুত্বপূর্ণ দিক এবং পদ্ধতি বিশেষ I  তথ্য সংগ্রহের পর তথ্যকে সুন্দরভাবে ব্যাখ্যা করার জন্য পরিসংখ্যা বিভাজন প্রয়োজন হয় I সংগৃহীত তথ্য রাশিকে নির্দিষ্ট ক্রমে এবং নিয়মে সাজিয়ে উপস্থাপন করা কে পরিসংখ্যা বিভাজন বলে I পরিসংখ্যা যথাযথভাবে বিভাজিত হলে সংখ্যাগত মান নির্ণয় সঠিক হয় এবং এর দ্বারা উপাদানের গুরুত্ব ও তাৎপর্য ব্যাখ্যা করা সম্ভব হয় I

সংজ্ঞা :  সংগৃহীত বিস্তৃত ও বিশৃংখল রাশিতথ্য কে একটি পরিসংখ্যা সারণিতে একাধিক ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশে বিভক্ত করে শ্রেণি ও পরিসংখ্যা আকারে উপস্থাপন করা কে পরিসংখ্যা বিভাজন বলে I

বৈশিষ্ট্য:  পরিসংখ্যা গুলি নির্ণয় করার সময় কতগুলি সাধারণ বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করা যায়I যেমন –

  1. পরিসংখ্যা গুলি সংখ্যাগত বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে শ্রেণিভুক্ত করা হয় I
  2. এই পরিসংখ্যা গুলি পরিমাণগত ভাবে পরস্পর পৃথক থাকে I
  3. এই ধরনের রাশি গুলির বিন্যাস ও অপ্রতিসম উভয় প্রকারের হয়ে থাকে I
  4. বিভিন্ন শ্রেণি পরিসরের দ্বারা এই পরিসংখ্যা গুলি কেবল তথ্যের বন্টন সম্পর্কে ধারণা প্রদান করতে সাহায্য করে I
  5. এই পরিসংখ্যা গুলি একই সময়ে সংগৃহীত কতকগুলি তথ্য থেকে গঠন করা হয় I

পরিসংখ্যা বিভাজন এর প্রকারভেদ: সাধারণত পরিসংখ্যা বিভাজন দুই প্রকারের হয়ে থাকে I যথা: –  1. সরল বা অ- শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজন এবং 2. শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজনI

1.   সরল বা শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজন: পরিসংখ্যান বিদ্যায় সংগৃহীত রাশি তথ্যগুলি যখন ভগ্নাংশে না দেখিয়ে কেবলমাত্র পূর্ণ সংখ্যায় উপস্থাপন করা হয়, তখন তাকে সরল বা অ- শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজন বলে I একে বিচ্ছিন্ন পরিসংখ্যা বিভাজনও বলেI

●  সুবিধা: সরল পরিসংখ্যা বিভাজন এর বেশ কিছু সুবিধা রয়েছে I  যেমন-

1.        এই ধরনের পরিসংখ্যা বিভাজন এ কমসংখ্যক তথ্যের উপস্থিতি লক্ষ্য করা যায় I

2.        কম সংখ্যক তথ্যের আদান-প্রদান ঘটে বলে গাণিতিক জটিলতা এই বিভাজনে অনেক কম I

3.        সরল পরিসংখ্যা বিভাজন এর ক্ষেত্রে প্রতিটি সংখ্যায় পরিচিত বা প্রাধান্য পেয়ে থাকে I

4.        সরল পরিসংখ্যা বিভাজন এর ক্ষেত্রে প্রতিটি পরিসংখ্যানের নিজস্ব বৈশিষ্ট্য বজায় থাকে বলে তথ্য উপস্থাপনে বিকৃত অবস্থা সহজে প্রকাশ পায় না I

●   অসুবিধা : সরল বা অ- শ্রেণি বদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজন এর সুবিধা যেমন রয়েছে তেমনি বেশ কিছু অসুবিধাও লক্ষ্য করা যায় I যেমন-

1.             বহুসংখ্যক বা অধিক তথ্য উপস্থাপনের ক্ষেত্রে সরল বা অ- শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজন প্রযোজ্য নয় I

2.             এই প্রকার পরিসংখ্যা বিন্যাস কেবলমাত্র তথ্যগুলির সাধারণ গুণাবলী নিয়ে আলোচনা করে বলে পরিসংখ্যানের জটিল ব্যাখ্যা ও সূত্র প্রয়োগের ক্ষেত্রে এই ধরনের পরিসংখ্যা বিভাজন এর ভূমিকা অনেক কম I

3.             এই ধরনের পরিসংখ্যা বিন্যাসে শ্রেণি ব্যবধান এর প্রয়োগ না থাকায় তথ্যের সংক্ষিপ্তকরণ ব্যর্থ হয় I

4.             সরল বা অ- শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজন এর মাধ্যমে পরিসংখ্যান গুলিকে লেখ চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করা সম্ভব হয় না I

2. শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজন: পরিসংখ্যান   বিদ্যায় যখন রাশি তথ্যগুলি তাদের মানের ক্রমানুসারে শ্রেণিকৃত করে নির্দিষ্ট পরিসীমার মধ্যে তাদের অনুরূপ পরিসংখ্যা পাশাপাশি উপস্থাপন করা হয়, তখন তাকে শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজন বলে I একে অনেক সময় অবিচ্ছিন্ন পরিসংখ্যা বিভাজনও বলে Iএই ধরনের  বিভাজনে শ্রেণি সীমানা থাকে I

●              পরিসংখ্যা কে শ্রেণিবদ্ধ করার পদ্ধতিগুলি পর্যায়ক্রমে আলোচনা করা হলো-

1.   শ্রেণি সংখ্যা নির্বাচন :  এটি নির্ভর করে পরিসংখ্যার  ব্যাপ্তির উপর I  পরিসংখ্যাকে কতকগুলি শ্রেণিতে বিভাজন করা যেতে পারে তা নির্ণয় করা কঠিন I তবে শ্রেণি সংখ্যা খুব কম বা খুব বেশি হওয়া বাঞ্ছনীয় নয় I পরিসংখ্যান বিদদের মতে শ্রেণি সংখ্যা 5 থেকে 25 এর মধ্যে থাকা উচিত I তবে বিশিষ্ট পরিসংখ্যানবিদ  H.A. Sturges – এর সূত্র অনুযায়ী শ্রেণি সংখ্যা নির্ণয় করা হয় I  সূত্রটি হল –

                                               শ্রেণি সংখ্যা (K) = 1+3.322 log N

যেখানে, K = শ্রেণি সংখ্যা

           N = মোট পরিসংখ্যা

 কিছু কিছু ক্ষেত্রে বৃহৎ পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে আরও একটি সূত্র ব্যবহার করা হয়ে থাকে সেটি হল: K=5 log N

2.   শ্রেণি ব্যবধান নির্ণয়: কোন বিভাজনে সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের পার্থক্য কে শ্রেণি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে শ্রেণি ব্যবধান পাওয়া যায় I এটি নির্ণয় করার সূত্রটি হল- 

                                                     শ্রেণি ব্যবধান = সর্বোচ্চ মান –  সর্বনিম্ন মান / শ্রেণি সংখ্যা

                      পরিসংখ্যা বিভাজন এর প্রকৃতি অনুযায়ী শ্রেণি-ব্যবধান সমান বা অসমান   দুটি-ই হতে পারে I নির্দিষ্ট শ্রেণি ব্যবধান এর পরিমাণ ও তার ধর্ম অনুসারে সাধারণত তিন ধরনের হয়ে থাকে-

●             সমশ্রেণি ব্যবধান: যখন কোন পরিসংখ্যা বিভাজন এর প্রত্যেকটি শ্রেণি ব্যবধান সমান হয়ে থাকে, সেই ধরনের শ্রেণি ব্যবধানকে সম- শ্রেণি ব্যবধান বলা হয়I

●               অসম শ্রেণি ব্যবধান: যখন কোন পরিসংখ্যা বিভাজন এর প্রত্যেকটি শ্রেণির ব্যবধান ভিন্ন মানের অর্থাৎ অসমান হয়ে থাকে, সেই ধরনের শ্রেণি ব্যবধান অসম শ্রেণি ব্যবধান বলা হয়I

●             মুক্ত প্রান্তীয় শ্রেণি ব্যবধান: পরিসংখ্যা বিভাজন এর ক্ষেত্রে এমন অনেক শ্রেণি থাকে, যেখানে দুই প্রান্তকে অর্থাৎ সর্বপ্রথম ও সর্বশেষ প্রান্তীয় সীমানাকে উন্মুক্ত রেখে শ্রেণিবিভাগ করা হয়, তাকে মুক্ত প্রান্তীয় শ্রেণি ব্যবধান বলেI

         শ্রেণি ব্যবধান নির্ণয়ের পদ্ধতি: পরিসংখ্যা বিভাজন এর জন্য শ্রেণি ব্যবধান নির্বাচন করার জন্য দুটি পদ্ধতি প্রচলিত রয়েছে I যথা:-  A. অন্তর্ভুক্তি করন পদ্ধতি  এবং B.  বহির্ভুক্তি করন পদ্ধতি I

A.      অন্তর্ভুক্তি করন পদ্ধতি: সংগৃহীত রাশিতথ্য গুলির পরিসংখ্যা বিভাজন এর ক্ষেত্রে শ্রেণি নির্বাচনের সময় উচ্চসীমা ও নিম্নসীমা নির্ণয় করা হয় অর্থাৎ প্রত্যেক শ্রেণির একটি করে উচ্চসীমা ও নিম্নসীমা থাকে I

          যখন কোন শ্রেণির উচ্চসীমা ও নিম্নসীমা উভয় উক্ত শ্রেণিভূক্ত হয়, তাকে অন্তর্ভুক্তির শ্রেণি ব্যবধান বলে I এক্ষেত্রে কোন শ্রেণির উচ্চসীমা তার পরবর্তী শ্রেণির নিম্নসীমার সমান হয় না I 

B.     বহির্ভুক্তি করন পদ্ধতিযখন কোন শ্রেণির উচ্চসীমা তার পরবর্তী শ্রেণির নিম্নসীমার সমান হয়, তখন তাকে বর্জন বা বহির্ভুক্তি করন পদ্ধতি বলে I এই ধরনের শ্রেণি গুলিতে কোন শ্রেণির উচ্চসীমা পরবর্তী শ্রেণির নিম্নসীমার  মানের সঙ্গে সমান হয় I

3. শ্রেণিসীমা বা শ্রেণি সীমানা : শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজন এ যখন প্রতিটি শ্রেণি ব্যবধানে দুটি প্রান্তীয় মান নির্দিষ্ট থাকে এবং কোন শ্রেণির উর্ধ্বসীমা মান ও তার পরবর্তী শ্রেণির নিম্নসীমা মান আলাদা হয়, তাকে শ্রেণিসীমা বলে I শ্রেণি ব্যবধান এর ছোট মানের প্রান্তকে নিম্নশ্রেণির সীমা ও বড় মানের প্রান্তকে ঊর্ধ্ব শ্রেণিসীমা বলে I

                     শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজন এর যখন কোন শ্রেণির উর্ধ্বসীমা যে  মান দিয়ে শেষ হয় ঠিক তার পরবর্তী শ্রেণির নিম্নসীমা ওই একই মান দিয়ে শুরু হয় তখন তাকে শ্রেণি সীমানা বলে I

4. শ্রেণির  প্রসার বা বিস্তার: শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজন এ শ্রেণির  নিম্ন সীমানার ও উচ্চসীমানার অন্তর্বর্তী মানকে শ্রেণির পসারিণী বিস্তার বলে I শ্রেণির প্রসার নির্ণয় করার সূত্রটি হল-

           শ্রেণির  প্রসার =  উচ্চ শ্রেণিসীমানা –  নিম্নশ্রেণি সীমানা I

5. মধ্যবিন্দু নির্ণয়:  কোন শ্রেণির  ঠিক মাঝখানের মানকে মধ্যবিন্দু বলা হয় I  এটি নির্ণয় করার সূত্রটি হল-

                     শ্রেণি ব্যবধান = নিম্নশ্রেণির সীমা  বা  সীমানা +  উর্ধ্ব শ্রেণিসীমা  বা  সীমানা / 2

6. আপেক্ষিক পরিসংখ্যা: কোন নির্দিষ্ট শ্রেণির পরিসংখ্যা কে সর্ব মোট পরিসংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তাকে ওই শ্রেণির আপেক্ষিক পরিসংখ্যা বলে Iআপেক্ষিক পরিসংখ্যান নির্ণয় সূত্রটি হল-

                     আপেক্ষিক পরিসংখ্যা = শ্রেণি পরিসংখ্যা / মোট পরিসংখ্যা

 7. শতকরা পরিসংখ্যা: কোন নির্দিষ্ট শ্রেণির পরিসংখ্যা কে সর্ব মোট পরিসংখ্যা দিয়ে ভাগ করে শতকরা হারের মানের প্রকাশ করলে তাকে শতকরা পরিসংখ্যা বলে I শতকরা পরিসংখ্যান নির্ণয় করার সূত্রটি হল-

                                শতকরা পরিসংখ্যা = শ্রেণি পরিসংখ্যা / মোট পরিসংখ্যা × 100

8. পরিসংখ্যা ঘনত্ব: শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজন এ কোন শ্রেণির প্রতি একক শ্রেণি প্রসারে যে পরিমাণ পরিসংখ্যা থাকে, তাকে পরিসংখ্যা ঘনত্ব বলে I পরিসংখ্যা ঘনত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি হল-

                     পরিসংখ্যা ঘনত্ব = শ্রেণি পরিসংখ্যা / শ্রেণি প্রসার

পরিসংখ্যা বিভাজন এর গুরুত্ব:

  1. কোন চলকের মানের অবস্থান দেখে তার সম্পর্কে  ধারণা করা যায় I
  2. তথ্যকে সুশৃংখলভাবে উপস্থাপন করা যায় I
  3.  তথ্যের প্রবণতা সম্পর্কে ধারণা প্রদান করে I
  4. চলক এর মানকে ক্ষুদ্র আকারে  অথচ অর্থপূর্ণভাবে  প্রকাশ করা যায় I
  5.  তথ্যসমূহকে  লেখচিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করতে সাহায্য করে I
  6. তথ্য রাশির মধ্যেকার তুলনামূলক বিচার এবং বিশ্লেষণে সহায়তা করে I

পরিসংখ্যা বিভাজন এর লৈখিক উপস্থাপনা

পরিসংখ্যা বিভাজন এর লেখচিত্রের প্রকাশ পরিসংখ্যা বিদ্যার প্রয়োগ বিধি হিসাবে খুবই গুরুত্বপূর্ণ I নিম্নলিখিত বিভিন্ন পদ্ধতিতে এই রৈখিক প্রকাশ করা হয় I

  1. আয়তলেখ
  2. পরিসংখ্যা বহুভুজ
  3.  পরিসংখ্যা রেখা
  4.   ক্রমোযৌগিক সংখ্যা

1.  আয়তলেখ : পাশাপাশি সংলগ্ন কতগুলি আয়তক্ষেত্র  যাদের ক্ষেত্রফল অনুরূপ শ্রেণি পরিসংখ্যার সমানুপাতিক- এরূপ লেখচিত্রকে  আয়তলেখ বলে I আয়াতলেখ একটি অনুভূমিক সরলরেখার উপর নির্দিষ্ট উল্লম্ব  স্কেল ও নির্দিষ্ট অনুভূমিক স্কেল অনুসারে  আঁকা হয় I

●              বৈশিষ্ট্য:

a.    প্রত্যেকটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অনুরূপ শ্রেণিবিভাগের পরিসংখ্যাকে এবং আয়তক্ষেত্র গুলির ক্ষেত্রফলের সমষ্টি পরিসংখ্যা বিভাজন ছক এর মোট পরিসংখ্যাকে প্রকাশ করে I

b.             শ্রেণি সীমানা সমূহ অনুভূমিক রেখায় পরপর নির্দিষ্ট উল্লম্ব ও নির্দিষ্ট অনুভূমিক স্কেল অনুসারে আঁকা হয় I

c.             আয়তলেখ উল্লম্ব দৈর্ঘ্য পরিসংখ্যার সমানুপাতিক এবং অনুভূমিক দৈর্ঘ্য শ্রেণি প্রসারের সমানুপাতিক I

d.             দুটি আয়তক্ষেত্রের মাঝে কোন ফাঁক থাকে না I

e.             অসম পরিসংখ্যা বিভাজনে পরিসংখ্যার পরিবর্তে পরিসংখ্যার ঘনত্ব বের করে তার সাহায্যে আয়তক্ষেত্রের উল্লম্ব   দৈর্ঘ্য স্কেল অনুযায়ী নির্ধারণ বা অঙ্কনকরতে হয় I

●   অঙ্কন পদ্ধতি: আয়তলেখ অঙ্কন করার জন্য নিম্নলিখিত পর্যায় গুলি অনুসরণ করতে হয়-

                     পর্যায় 1.  গ্রাফ কাগজ বা সাদা কাগজের উপর পরস্পর দুটি লম্ব অনুভূমিক (x অক্ষ ) ও উল্লম্ব  (y অক্ষ ) রেখা অঙ্কন করতে হয় I

পর্যায় 2. X অক্ষ বরাবর নির্দিষ্ট স্কেলে সমদূরত্ব শ্রেণিসীমানা গুলি স্থাপন করতে হয় I

পর্যায় 3. y অক্ষ বরাবর নির্দিষ্ট স্কেলে পরিসংখ্যা গুলি স্থাপন করতে হয় ( অসম শ্রেণির ক্ষেত্রে পরিসংখ্যার বদলে পরিসংখ্যা ঘনত্বের মান বসাতে হবে) I

পর্যায় 4.  প্রতিটি শ্রেণি দৈর্ঘ্য ও উচ্চতা অনুযায়ী এক একটি আয়তক্ষেত্র অঙ্কন করতে হয় I

পর্যায় 5.  X-অক্ষ এবং Y-অক্ষের ছেদকারী বিন্দুকে উৎপত্তি বিন্দু বলা হয় যার মান (0,0)। যদি এক্স-অক্ষের দৈর্ঘ্য ব্যতিক্রমীভাবে দীর্ঘ হয়, তাহলে অক্ষের জন্য একটি ব্রেকিং স্কেল প্রয়োজন। X এবং Y অক্ষের মধ্যে অনুপাত 80% নিয়ম অনুসরণ করে।I

●   গুরুত্ব ব্যবহার:

a.             আয়তলেখর সাহায্যে খুব সহজে পরিসংখ্যা বিভাজন এর অন্তর্গত তথ্যগুলিকে উপস্থাপন করা যায়I

b.             আয়তলেখর সাহায্যে একটি পরিসংখ্যা বিভাজন এর সামগ্রিক রূপ খুব তাড়াতাড়ি পাওয়া যায় I

c.             অর্থনৈতিক, সামাজিক ও ভৌগলিক বিভিন্ন তথ্য উপস্থাপনের ক্ষেত্রে আয়তলেখ যথেষ্ট ব্যবহার হয় I

d.              আয়তলেখর সাহায্যে কেন্দ্রীয় প্রবণতা উপস্থাপন করা যেতে পারে।

  •  আয়তলেখর সাহায্যে খুব সহজে বন্টনের প্রবণতা চিহ্নিত করা যায়।

2. পরিসংখ্যা বহুভুজ:  শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজনে চলকের মানসমূহ প্রতিটি শ্রেণির মধ্যবিন্দুর সাপেক্ষে পরিসংখ্যাকে নির্দিষ্ট স্কেল অনুযায়ী উল্লম্ব অক্ষে বসিয়ে বিন্দু দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, চিহ্নিত বিন্দুগুলিকে স্কেলের সাহায্যে সরলরেখায় যোগ করলে যে চিত্র পাওয়া যায়, তাকে পরিসংখ্যা বহুভুজ বলে I

●              বৈশিষ্ট্য: 

a.    শ্রেণি চিহ্ন অর্থাৎ উর্ধ ও নিম্ন শ্রেণি সীমানা সমূহের মধ্যবিন্দুর মান অনুভূমিক (x অক্ষ) রেখায় পরপর নির্দিষ্ট ব্যবধানে লিখতে হয় I

b.    X অক্ষটির অনুভূমিক দৈর্ঘ্য শ্রেণি প্রসারের সাথে উল্লম্ব অক্ষে বিন্দুগুলির উচ্চতা পরিসংখ্যার সাথে সমানুপাতিক I

c.    বিন্দুগুলি পরপর সরলরেখা দ্বারা যুক্ত হবে যাতে অনেকগুলি বাহু (বহুভুজ )উৎপন্ন হয় I

d.    সম শ্রেণি ব্যবধান এর ক্ষেত্রে অনুভূমিক (x অক্ষ)  রেখায় মধ্যবিন্দু গুলির দূরত্ব সমান হয়,  অসম শ্রেণি ব্যবধান এর ক্ষেত্রে মধ্যবিন্দু গুলির দূরত্ব স্কেল অনুযায়ী ভিন্ন ভিন্ন হয় I

e.    সম শ্রেণি ব্যবধান যুক্ত পরিসংখ্যা বিভাজন এর ক্ষেত্রে উল্লম্ব  অক্ষে  প্রতিটি শ্রেণির পরিসংখ্যাকে বসানো হয় I কিন্তু অসম শ্রেণি ব্যবধান এর ক্ষেত্রে উলম্ব অক্ষে  পরিসংখ্যা ঘনত্ব বসানো হয় I

f.     প্রথম শ্রেণির আগে এবং শেষ শ্রেণির পরে অতিরিক্ত একটি করে শ্রেণি মধ্যবিন্দু নিয়ে ওই বিন্দু গুলির সঙ্গে বহুভুজের দুই প্রান্তকে দুদিকে অনুভূমিক রেখা যোগ করলে বহুভুজ  গঠন সম্পূর্ণ হয় I

g.    পরিসংখ্যা বহুভুজ কখনো কখনো আয়তলেখ উৎপন্ন করে তার উপর অঙ্কন করা হয় I তবে তা আবশ্যিক নয় I

●   অঙ্কন পদ্ধতি: পরিসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন  করার জন্য নিম্নলিখিত পর্যায় গুলি অনুসরণ করতে হয়-

পর্যায় 1.   গ্রাফ কাগজ বা সাদা কাগজের উপর পরস্পর দুটি লম্ব অনুভূমিক (x অক্ষ) ও উল্লম্ব (y অক্ষ) রেখা অঙ্কন করতে হয় I

পর্যায় 2.  X অক্ষ ও y  অক্ষ যেখানে ছেদ করে তাকে ছেদবিন্দু বা উৎপত্তিস্থল বলে I  এর মান (0,0) I  যদি শ্রেণি সীমানা 0  থেকে বেশি দূরে  হয় উৎপত্তিস্থল ও শ্রেণির মাঝখানের x অক্ষটি ভেঙ্গে নিতে হবে I

পর্যায় 3.  X অক্ষ বরাবর নির্দিষ্ট স্কেলে প্রতিটি শ্রেণির মধ্যবিন্দু গুলি বসাতে হয় I

পর্যায় 4.Y অক্ষ বরাবর নির্দিষ্ট স্কেলে পরিসংখ্যা গুলির মান বসবে ( অসম শ্রেণির ক্ষেত্রে পরিসংখ্যার বদলে পরিসংখ্যা ঘনত্ব বসাতে হয় ) I

পর্যায় 5.  এরপর প্রতিটি বিন্দু স্কেল দ্বারা পরস্পর সরলরেখা দিয়ে যোগ করা হয় I

পর্যায় 6.  প্রথম শ্রেণির আগে এবং শেষ শ্রেণির পরে অতিরিক্ত একটি করে শ্রেণি মধ্যবিন্দু দিয়ে ওই বিন্দু গুলির সঙ্গে বহুভুজের দুই প্রান্তকে দুদিকে অনুভূমিক রেখার (x অক্ষের) সঙ্গে যুক্ত করলে পরিসংখ্যা বহুভুজ তৈরি হয় I

●              গুরুত্ব ব্যবহার:

a.             পরিসংখ্যা বহুভুজ বণ্টনের প্রকৃতি সম্পর্কে আলোকপাত করে I

b.             বন্টনের কেন্দ্রীয় প্রবণতার মানগুলি বিশেষত mean এর লৈখিক উপস্থাপনা সাধারণত পরিসংখ্যা বহুভুজ এই দেখানো হয় I

c.              দুই বা ততোধিক বিষয়ের মধ্যে তুলনা করতে এই লেখচিত্রের ব্যবহার যথেষ্ট বেশি I

●              আয়তলেখ পরিসংখ্যা বহুভুজ এর মধ্যে সম্পর্ক: আয়তলেখ ও পরিসংখ্যা বহুভুজ একে অপরের পরিপূরক, মূলত: –

a.             আয়তলেখ এর প্রতিটি আয়তক্ষেত্রের উপরিপৃষ্ঠের মধ্যবিন্দু গুলি যোগ করলে পরিসংখ্যা বহুভুজ পাওয়া যায় I

b.             আয়তলেখ অঙ্কনের ক্ষেত্রে অনুভূমিক শ্রেণিসীমা ও পরিসংখ্যান বহুভুজ এর ক্ষেত্রে মধ্যবিন্দু থাকলেও উভয়ই প্রতিটি শ্রেণির পরিসংখ্যার ঘনত্ব কে উপস্থাপন করে I

c.             অঙ্কন পদ্ধতি ভিন্ন হলেও আয়তলেখ এর আয়তক্ষেত্র গুলির ক্ষেত্রফলের সমষ্টির এবং পরিসংখ্যা বহুভুজ এর ক্ষেত্রফল উভয়ই সর্বদা এক হয় I বহুভুজ অঙ্কনের সময় আয়তলেখ এর কোন একটি শ্রেণির আয়তক্ষেত্রের যতটুকু অংশ বাদ যায় ওই শ্রেণির আগে ও পরে আয়তক্ষেত্রের বাইরের অংশ সংযোজনের মাধ্যমে তা পরিপূরণ করে ক্ষেত্রফলের সমতা বজায় রাখা হয় I

3.  পরিসংখ্যা রেখা: শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজনে চলকের মানসমূহ প্রতিটি শ্রেণির মধ্যবিন্দুর সাপেক্ষে পরিসংখ্যাকে নির্দিষ্ট স্কেল অনুযায়ী উল্লম্ব অক্ষে বসিয়ে বিন্দু দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, চিহ্নিত বিন্দুগুলিকে মসৃণ বক্ররেখা যোগ করলে যে চিত্র পাওয়া যায়, তাকে পরিসংখ্যা রেখা বলে I

●               বৈশিষ্ট্য:

  • সম শ্রেণি ব্যবধান এর ক্ষেত্রে অনুভূমিক (x অক্ষ) রেখায় মধ্যবিন্দু গুলির দূরত্ব সমান হয় I অসম শ্রেণি ব্যবধান এর ক্ষেত্রে মধ্যবিন্দু গুলির দূরত্ব স্কেল অনুযায়ী ভিন্ন ভিন্ন হয়I
  • সম শ্রেণি ব্যবধান যুক্ত পরিসংখ্যা বিভাজন এর ক্ষেত্রে উল্লম্ব অক্ষে প্রতিটি শ্রেণির পরিসংখ্যা কে বসানো হয় I কিন্তু অসম শ্রেণি ব্যবধান এর ক্ষেত্রে উল্লম্ব অক্ষে   পরিসংখ্যা ঘনত্ব বসানো হয় I
  • X অক্ষটির অনুভূমিক দৈর্ঘ্য শ্রেণি প্রসারের সাথে উল্লম্ব অক্ষে বিন্দুগুলির উচ্চতা পরিসংখ্যার সাথে সমানুপাতিক I
  • বিন্দুগুলিকে খালি হাতে পেন বা পেন্সিল এর সাহায্যে বক্ররেখা যুক্ত করা হয় I
  • প্রথম ও শেষ বিন্দুটি যথাক্রমে পূর্ববর্তী ও পরবর্তী মানের অভিমুখী হয় I
  • পরিসংখ্যা রেখা প্রায়শই আয়তলেখের উপর অঙ্কিত হয় I তবে তা আবশ্যিক নয় I

●               অঙ্কন পদ্ধতি: পরিসংখ্যা রেখা অঙ্কন করার জন্য নিম্নলিখিত পর্যায়গুলি অনুসরণ করতে হয়-

পর্যায় 1. গ্রাফ কাগজ বা সাদা কাগজের উপর পরস্পর দুটি লম্ব অনুভূমিক (X অক্ষ) ও উল্লম্ব (X অক্ষ) রেখা অঙ্কন করা হয় I

পর্যায় 2. X অক্ষ ও y অক্ষ যেখানে ছেদ করে তাকে ছেদবিন্দু বা উৎপত্তিস্থল বলে I যদি শ্রেণি সীমানা 0 থেকে বেশি দূরে হয় উৎপত্তিস্থল ও শ্রেণি সীমানা মাঝখানের x  অক্ষটি ভেঙে নিতে হয় I

পর্যায় 3. X অক্ষ বরাবর নির্দিষ্ট স্কেলে প্রতিটি শ্রেণির মধ্যবিন্দু গুলি বসাতে হয় I

পর্যায় 4.Y অক্ষ বরাবর নির্দিষ্ট স্কেলে পরিসংখ্যা গুলির মান বসবে (অসম শ্রেণির ক্ষেত্রে পরিসংখ্যার বদলে পরিসংখ্যা ঘনত্ব বসাতে হয়) I

পর্যায় 5. এরপর প্রতিটি বিন্দু কে মসৃণ বক্ররেখা দ্বারা যুক্ত করতে হয় I

           পর্যায় 6.  প্রথম শ্রেণির আগে এবং শেষ শ্রেণির পরে অতিরিক্ত একটি করে শ্রেণি মধ্যবিন্দু দিয়ে ওই বিন্দু গুলির সঙ্গে বহুভুজের দুই প্রান্তকে দুদিকে অনুভূমিক রেখার (x অক্ষের) সঙ্গে যুক্ত করলে পরিসংখ্যা রেখা তৈরি হয় I

4. ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা:  শ্রেণিবদ্ধ বা   অ-শ্রেণিবদ্ধ পরিসংখ্যা বিভাজনে   পরিসংখ্যার ক্রমিক যোগফলকে ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বলে I যখন চলকের বন্টন শ্রেণি সীমানা সাপেক্ষে কোন নির্দিষ্ট স্কেল অনুযায়ী সরল রেখার সাহায্যে অঙ্কিত চিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হয় তখন তাকে Ogive বা ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা রেখা বলে I

          Fc = পূর্ববর্তী সকল শ্রেণির মোট পরিসংখ্যা +   সংশ্লিষ্ট শ্রেণির পরিসংখ্যা I

ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা দুই ধরনের হয়ে থাকে, যথা: –

  1. নিম্নতর ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা: নিম্নতর ক্ষেত্রে সারণির উপর থেকে নিচের দিকে ক্রমশ পরিসংখ্যা যোগ করতে হয় I এতে সর্বশেষ শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যার মোট পরিসংখ্যার মানের সমান I
  • উচ্চতর ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা: উচ্চতর ক্ষেত্রে সারণির নিচ থেকে পরিসংখ্যা ক্রমশ যোগ করে উপরে উঠতে হয় I এক্ষেত্রে সর্বপ্রথম (সর্বোচ্চ) শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যার মান মোট পরিসংখ্যার মানের সমান I

●              ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা রেখার নিম্নতর ও উচ্চতর রেখা দুটির ছেদবিন্দু থেকে ঠিক নিচে অনুভূমিক অক্ষে উপনীত হলে যে মান পাওয়া যায় তাকে মধ্যমা বলেI

●              বৈশিষ্ট্য:

a.             নিম্নতর ও উচ্চতর এই দুই ধরনের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা রেখা দেখানো হয় I

b.             এটি একটি দ্বিমাত্রিক চিত্র, এতে শ্রেণির প্রসার ও পরিসংখ্যা দ্বারা ক্ষেত্রফল দেখানো হয় I

c.             নিম্নতর ও উচ্চতর ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা রেখার মিলন বিন্দুর উপর ও নিচের অংশ পরস্পর দর্পণ প্রতিবিম্ব গঠন করে I

●              অঙ্কন পদ্ধতি: ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা অঙ্কন করার জন্য নিম্নলিখিত পর্যায়গুলি অনুসরণ করতে হয়-

পর্যায় 1. গ্রাফ কাগজ বা সাদা কাগজের উপর পরস্পর দুটি লম্ব অনুভূমিক (x অক্ষ) ও (y অক্ষ) রেখা অঙ্কন করা হয় I

পর্যায় 2. X অক্ষ বরাবর নির্দিষ্ট স্কেলে সম দূরত্বে শ্রেণি সীমানা গুলি স্থাপন করতে হয় I

পর্যায় 3. Y অক্ষ বরাবর নির্দিষ্ট স্কেলে ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা গুলি স্থাপন করতে হয় I 

পর্যায় 4. নিম্নতর ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা রেখা অঙ্কন   করতে হলে ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাকে প্রত্যেক শ্রেণির ঊর্ধ্ব সীমানার উপর উল্লম্ব বসাতে হয় I

পর্যায় 5. উচ্চতর ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা রেখা অঙ্কন করতে হলে ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাকে প্রত্যেক শ্রেণির নিম্ন সীমানার উপর উল্লম্ব অক্ষে বসাতে হয় I

পর্যায় 6. এই দুই ধরনের বিন্দুগুলি কে মসৃণ বক্ররেখায় যোগ করলে ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা রেখা তৈরি হবে I

●              গুরুত্ব ব্যবহার:

a.             এটি বিভিন্ন শ্রেণির পরিসংখ্যান তুলনামূলক বন্টন এবং বিভিন্ন শ্রেণির মধ্যে মোট পরিসংখ্যা বন্টনে সাহায্য করে I

b.             Ogives অর্থাৎ Cumulative Frequency Polygon ও Curve তৈরি করা হয় ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন দ্বারা I

c.             Ogive থেকে খুব সহজভাবে লৈখিক পদ্ধতিতে Median, Quartile, Decile ইত্যাদি নির্ণয় করা যায় I

e.             কোন নির্দিষ্ট মানের আগে অথবা পরের মোট পরিসংখ্যা বা এর শতকরা হার নির্ণয়ের জন্য ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা নির্ণয় করা প্রয়োজন I

Leave a Reply

Your email address will not be published.